Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат

Сыктывкарский муниципальный институт

Кафедра математического анализа

Методические указания по курсу “ Математика ”

для студентов I курса исторического факультета

(заочное отделение)

Педагог Попова Н.А.

Сыктывкар 2001

Учебный план по курсу “ Математика ”

для I курса исторического факультета (заочное отделение)

на 2001-02 уч.год педагога Поповой Н.А.

I семестр. Лекции (4 часа)

1. Лаконичный исторический очерк развития арифметики Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат. Обзор литературы.

2. Огромного количества, элементы комбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую логику, знакомство с графами.

Консультация (1 час). Методические указания к выполнению контрольной работы.

Задания для самостоятельной работы :

1. Контрольная работа (5 задач. См. приложение 1).

2. Подготовка (написание) реферата по избранной теме (перечень тем – приложение 2).

II семестр. Практические занятия (12 часов). Решение задач Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат.

1. Огромного количества. Элементы комбинаторики.

2. Элементы теории графов и математической логики.

3. Элементы теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия, их применение в математической статистике.

4. Функции и их графики.

Семинары.

5–6. Некие вопросы истории развития арифметики (главные вехи развития общества и развития арифметики).

Консультации (к зачету) – 13 часов.

Зачет ставится с учетом оценок за Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат:

1) контрольную работу,

2) реферат (по персональной теме),

3) роль в работе практических занятий (общая оценка за 6 занятий),

4) ответы на вопросы зачета по двум частям (2 вопроса, приложение 3).

Перечень основной литературы:

1. Ловягин Ю.Н., Матвеева О.П. Математика. Учебное пособие для студентов нематематических специальностей. Ч.1. Дифференциальное и интегральное исчисления. Сыкт-р. СГУ, 1998. 73 с Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат. Ч.2. Теория вероятностей. Графы. СГУ, 1999. 64 с.

2. Матвеев И.В. Функции и их графики. М. МГУ, 1970. 104 с.

3. Столл Р.Р. Огромного количества. Логика. Аксиоматические теории. М. Просв., 1968. 230 с.

4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М. Просвещение, 1990. 416 с.

5. Шиханович Ю.А. Введение в современную арифметику Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат (Исходные понятия). М. Наука, 1965. 376 с.

6. Головач П.А. Введение в теорию графов. Сыктывкар. СГУ, 1993.

7. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982. 160 с.

8. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Т., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982.

9. Мендельсон Э. Введение в Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат математическую логику. М. Наука, 1984. 320 с.

10. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. Учебное пособие. М. Наука, 1989. 576 с.

11. Стройк Д.Я. Лаконичный очерк истории арифметики. М. Наука, 1978. 336 с.

12. Рыбников К.А. Появление и развитие математической науки. Пособие для учителя. М. Просвещение, 1987. 159 с.

Приложение 1.

Контрольная работа по арифметике

для I Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат курса исторического факультета СГУ (заочное отделение)

Задание 1. (Огромного количества. Комбинаторика.)

1) Составить огромного количества разных букв. А – собственного полного имени, В – собственного отчества, С – собственной фамилии.

2) Отыскать объединение и скрещение множеств А и В.

3) Отыскать дополнения к С до А и к А до С.

4) Проверить на диаграммах, правильно ли равенство Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат: .

5) Вычислить, сколько частей имеет декартово произведение множеств А и В, изобразить их точками плоскости.

6) Сколько разных аббревиатур можно составить из всех букв огромного количества С? В каждой из аббревиатур использовать каждую буковку из огромного количества С только по одному разу (т.е. без повторений).

7) Сколько разных трехбуквенных слов можно Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат составить из букв огромного количества В, если слова составляются из различных букв (без повторений)? Что собой представляют наборы букв этих слов – сочетания либо размещения?

8) Сколько разных подмножеств (всех) имеет огромное количество А?

Пример решения таковой задачки. Пусть создатель – Пафнутий Львович Чебышёв (будем считать е и ё за одну и Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат ту же буковку). Тогда

1) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, И, Ч}, С={Ч, Е, Б, Ы, Ш, В}.

2) = {П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, Л, Ь, В, О, Ч}. ={И}.

3) Т.к. Æ, то и .

4) {П, А, Ф Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.




{П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.

Ответ: Т.к. вышло одно и то же огромное количество, то равенство правильно.

5) . Ч

И

О

В

Ь

Л

П А Ф Н У Т И Й

6) Потому что аббревиатуры составляются из всех букв огромного количества С и без повторений Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат, то их количество равно огромному количеству порядков на огромном количестве С: .

7) Т.к. при перестановке букв в слове получаются другие (новые) слова (к примеру, ЛОВ и ВОЛ), то наборы букв для слов – это размещения, т.к. важен порядок выбора букв. Всех размещений из букв огромного количества В по 3 - . Но Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат нет слов, начинающихся с буковкы “ь”, потому такие наборы нужно исключить, их количество равно . Тогда разных трехбуквенных слов .

Ответ: 100.

8) Т.к. , то количество подмножеств - .

Задание 2 (Графы)

Пусть огромное количество А из предшествующего задания есть огромное количество обозначений вершин для построения графов, т.е. огромного количества точек V.

1) Изобразить верхушки Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат графа точками, обозначить их и соединить ребрами так, чтоб вышел а) полный граф - , б) двудольный граф - , в) полный двудольный граф - ,г) постоянный граф - (указать его степень), д) односвязный граф с одним “мостом” - , е) сложный граф - (т.е выполнить более 6 рисунков).

2) Отыскать посреди изображенных графов а) эйлеров граф, б Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат) полуэйлеров граф, в) граф, имеющий циклы (если они есть на рисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).

3) Из множеств А, В и С предшествующей задачки избрать огромное количество с минимальным числом букв (частей) и, считая их верхушками графа, изобразить все вероятные деревья с верхушками во всех этих Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат точках.

К примеру.

b

a c полный граф с пятью верхушками; он же постоянный

(однородный), степень вершин r = 4; также он эйлеров;

l d односвязный.

n двудольный и двусвязный граф; (двудольный -

m неполный).

l

k o

p q

s

t u сложный, односвязный с одним “мостом”,

полуэйлеров граф.

xv

z w

y

Задание 3 (Теория вероятностей)

Возьмем огромного количества А Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат и В из задания 1. Пусть любая из букв написана на отдельной карточке и огромного количества А и В – это две колоды карточек (все карточки положены знаками вниз, их не видно).

Вычислить возможность того, что при выборе наобум по одной карточке из каждой колоды будут вынуты а Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат) 2 однообразные буковкы; б) 2 различные буковкы; в) хотя бы одна из букв такая, какую Вы замыслили заблаговременно (укажите, какую конкретно; если есть различные варианты решения, то покажите все решения).

К примеру, ) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, В, И, Ч}. Тогда: а Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат) общая буковка только одна – И; возможность ее выбора из А равна , возможность ее выбора из В равна ; возможность ее выбора из А и из В – (правило произведения); б) т.к. во всех других случаях буковкы будут различны, то возможность выбора 2-ух различных букв равна (можно ее отыскать и другим методом Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат); в) если задумана буковка “И”, то возможность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 3 варианта: “И” из А и неважно какая другая буковка из В, “И” из В и неважно какая другая буковка из А, также “И” – из А и В; сложив вероятности, получим: .Аналогично для других Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат букв (2 случ.).

Внимание! В заданиях 4 и 5 каждый студент должен выполнить собственный вариант. Номер варианта соответствует Вашему номеру зачетной книги последующим образом: а) если две последние числа номера зачетной книги составляют число не больше 30, то это и есть номер Вашего варианта; б) если две последние числа составляют число большее 30, то Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат из него следует отнять 30 столько раз, сколько может быть; остаток и есть номер Вашего варианта; если две последние числа номера зачетной книги 60 ли 90, то Вы выполняете вариант 30. К примеру, номер зачетной книги …41 – вариант 11, т.к. 41=30+11, …62 – вариант 2, …97 – вариант 7; …208 – т.е. …08 – вариант 8.

Задание 4 (Математическая логика).

А. В вариантах 1 – 15 составить таблицу истинности формулы:

1. ùx & y Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат Ú (ùy ºx Úùy ); 2. ù(x &ù y )Ú (ùx &y ) ºùy );

3. y Úùx & ( y &x ®ùx ); 4. x Úy º (ùx &ùy ®y );

5. x º ( x Úùy ®ùy &ùx ); 6. (y ®ù x Ú ( x &y )) ºx Úy ;

7. ù(x Úùy ) ® (x Úùy ); 8. x Ú ( y ®y Úù (x Úy ));

9. x Úy ®ùy & ( x Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат ®y ); 10. x & ( ù y ®x Úy );

11. x º ( y ®ùx Ú ( x ºùy )); 12. (x Úy ) ® ( y &ùx );

13. ( x ®y ) ® (ùx &ù (y Úx )); 14. x º ( ùy ® x ) Ú ( x ®ùy ));

15. (x Úùy ) & ( ùx Úy ) ºùy ;

Б. В вариантах 16-30 проверить, является ли формула тавтологией:

16. (y ® (x Úùy )) & ( x ® ( y Úùx )); 17. ( x Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат Úy )® ( y Úùx );

18. x º ( x Úùy ) &ùy ); 19. x ® ( x Ú (ùy &x ));

20. x ® (( y &ùx ) ®x ); 21. (x ®y ) ®x Úy ºù (ùx &ùy );

22. x Úy ºù (ùx &ùy ); 23. ( ùx Úy ®y ) ºx Úy ;

24. ( ùx Úy ®x ) ºx &y ; 25. ù (x ®y ) Ú ( ùy ®ùx );

26. ù (x ®y ) &ù ( y ®ùx ); 27. x &ù y ® (x Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат Úy ºùx );

28. x Úùy ® (ùy &ùx )ºùx ; 29. x º ( y ®x &ùy );

30. ùx º ( y Ú ( x ®ùy )).

Примеры. А. Составить таблицу истинности формулы

(x ®ùy ) & (x Úy )) ºx Úùy .

Решение . Порядок выполнения действий:

x ® t


Ú

& z º

y ùÚ v

x

y

ùy

x Úy

z Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат

ùy & (x Úy )

t

(x ®z )

v

( x Úùy )

Ответ:

t ºv

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

Б. Проверить, является ли формула (x ®ùy ) & (x Úy )) º (x ®ùy ) тавтологией.

Решение (аналогично решению предшествующей задачки, отличается только v : x ®ù y .

x

y

ùy

x Úy

z

ùy & (x Úy )

t

x ®z

v Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат

x ®ùy

Ответ:

t ºv

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

Л

И

И

И

И

И

И

И

Ответ : да, тавтология.

Задание 5.

Выстроить график дробно-рациональной функции (варианты 1-30), за ранее изучив ее по последующему плану:

1) отыскать область определения функции (для этого можно конвертировать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);

2) если есть точки разрыва, то узнать, есть ли в их вертикальные асимптоты Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат (для этого отыскать в этих точках пределы функции слева и справа);

3) отыскать наклонные либо горизонтальные асимптоты (для этого конвертировать формулу функции, выделив целую часть из дроби);

4) проверить, не обладает ли функция личными качествами: а) четностью либо нечетностью, б) периодичностью (если нет, то обосновать, объяснить это);

5) отыскать точки скрещения графика с Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат осями координат и интервалы знакопостоянства, если точки скрещения с осью просто находятся;

6) отыскать производную и критичные точки;

7) по знаку производной узнать интервалы возрастания и убывания функции и что она имеет в критичных точках;

8) изобразить систему координат (в согласовании с исследованными качествами) и отметить в ней все отысканные Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат точки, изобразить асимптоты; для уточнения вида графика отыскать координаты нескольких дополнительных точек; отметить их и нарисовать график;

9) если в п.5 не были найдены точки скрещения графика с осью (нули функции), то отыскать их сейчас по графику;

10) отыскать область конфигурации функции (по графику и исследованным свойствам).

Варианты:

1) ; 11) ; 21) ;

2) ; 12) ; 22) ;

3) ; 13) ; 23) ;

4) ; 14) ; 24) ;

5) ; 15) ; 25) ;

6) ; 16) ; 26) ;

7) ; 17) ; 27) ;

8) ; 18) ; 28) ;

9) ; 19) ; 29) ;

10) ; 20) ; 30) .

Пример. Изучить Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат функцию .

Решение. 1) = = при (корешки квадратного трехчлена найдены по оборотной аксиоме Виета (в уме)),

означает, .

2) а) при слева ; (1)

-8 -7,5 -7,1
-90 -159,5 -719,1

при справа ; (2)

-6 -6,5 -6,9
52 121,5 681,1

Означает, - вертикальная асимптота;

б) при (и слева и справа) ;

1,9 2,1

асимптоты нет; - исключенная точка (т. разрыва). (3)

3) В

; т.к. при , то

; таким макаром, ровная - наклонная асимптота.

4) Исследуем на четность:

; лицезреем, что: и Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат , т.е. и , означает, вида (не обладает ни четностью, ни нечетностью); не является повторяющейся как дробно-рациональная функция (многочлены – непериодические функции).

5) а) при ; означает,

- точка скрещения графика с осью ординат; (4)

б) при , но , т.е. при либо , т.о.

и - точки скрещения графика с осью абсцисс. (5)

С учетом точек разрыва Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат и отысканных значений функции (по (1), (2), (3) и (4), (5)) получаем: при ; при ;

при ; при .

6)

(применена формула: );

а) нет критичных точек, где не существует, т.к. не имеет значе-

ния только при , но ;

б) при и , т.е. при ; ;

означает, и - критичные точки, а

; .

7)

+ 0 - нет зн. - 0 + +
нет зн.

выводы

от до

max

от Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат

до

вертик.

асимпт

от

до

min

от

до

от

до

Т.к. при и , то преобразуем формулу ; тогда

; ;

; потому , ; , .

8) ;

-17 -14 -12 -3 3 8 13
-36 -36 -38 2,5 -2 2/3 4,5

9) см. 5).

10) .


5y


-21 -17 -14 -12 -7 -2 0 7 12 x

-2

-12


-36

-38

-40


Приложение 2.

Темы рефератов

1. Появление понятия числа; 1-ые системы счисления.

2. Математика в Старом Египте.

3. Математика в Старой Месопотамии (Шумер, Вавилон, Ассирия).

4. Математика в Старом Китае.

5. Математика в Старой Греции (1 тысячелетие до Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат н.э.).

6. Пифагор. *)

7. Аристотель.

8. Евклид.

9. Архимед.

10. Математика Старой Греции и Старого Рима (начало новейшей эпохи – I-V века; Александрийская школа).

11. Средневековье. Математика в Индии.

12. Математика в Средней Азии (VIII-XIII века, Улугбек, Омар Хайам и др.).

13. Математика в старой Руси (VIII-XIII века).

14. Математика в эру Возрождения (Западная Европа; XII Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат-XV века).

15. Леонардо Пизанский (Фибоначчи). XV век.

16. Леонардо да Винчи. XV век.

17. Франсуа Виет. XVI век.

18. Джон Нэпер (Непер). XVI век.

19. Кардано и Тарталья. XVI век.

20. Коперник, Тихо Браге, Кеплер, Галилей. XVI век.

21. Рене Декарт. XVII век.

22. Блез Паскаль. XVII век.

23. Исаак Ньютон. XVII век.

24. Г.В.Лейбниц. XVII Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат век.

25. Пьер Ферма. XVII век.

26. Даламбер. XVIII век.

27. Леонард Эйлер. XVIII век.

28. Ж.Л.Лагранж. XVIII век.

29. А.М.Лежандр. XVIII век.

30. Г.Монж. XVIII век.

31. П.С.Лаплас. XVIII век.

32. Математика в Рф XVII-XVIII веков (Роль реформ Петра I; Екатерина II).

33. М.В.Ломоносов.

34. Именитые задачки древности Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат (об удвоении куба, о трисекции угла, о спрямлении окружности) и их разрешение (прямо до XVIII века).

35. К.Ф.Гаусс.

36. Разные подтверждения V постулата Евклида (до XIX в. н.э.).

37. Н.И.Лобачевский

38. Главные начальные факты геометрии Лобачевского, модели плоскости Лобачевского.

39. Нильс Абель. XIX век.

40. Эварист Галуа. XIX век.

41. Огюстен Коши Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат. XIX век.

42. Карл Вейерштрасс. XIX век.

43. М.В.Остроградский. XIX век.

44. П.Л.Чебышёв. XIX век.

45. С.В.Ковалевская. XIX век.

46. Ф.Клейн. XIX век.

47. А.Пуанкаре. XIX век.

48. Г.Кантор. XIX век.

49. Б.Риман. Конец XIX века.

50. Д. Гильберт. Конец XIX века.

51. Французская математическая школа (XVII-XX в.в Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат.).

52. Германская математическая школа (XVII-XX в.в.).

53. Британская математическая школа (XVII-XX в.в.).

54. Русская математическая школа (XVIII-началоXX в.в.).

55. Русская математическая школа.

56. Южноамериканская математическая школа (XIX-X X в.в.).

57. Н.Винер.

58. А.Н.Колмогоров.

59. Математика XX века; главные направления развития.

60. Главные стадии развития Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат науки; главные черты современной арифметики и ее роль в развитии общества.

Примечание . Дополнительная литература к работе над рефератом не указана, т.к. подбор литературы заходит как часть в самостоятельную работу студента (этому нужно научиться). В пособии Д.Я.Стройка [11] в конце каждой главы есть перечень рекомендуемой литературы. Можно использовать то, что найдется Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат в личной библиотеке либо в наиблежайшей публичной, в т.ч. и статьи из журналов “Квант”, “Математика в школе” и других повторяющихся изданий, также энциклопедические словари.


Приложение 3.

Вопросы к зачету по курсу “Математика ”

для студентов I курса исторического факультета СГУ

Часть 1. Математика.

1. Понятие огромного количества; элементы огромного количества; мощность Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат огромного количества; дела принадлежности и включения. Виды множеств.

2. Числовые огромного количества.

3. Операции над огромными количествами, их характеристики.

4. Соответствия меж элементами множеств, их виды (в т.ч. отображения и биекция).

5. Функции, их исследование.

6. Понятие графа. Виды графов, их применение.

7. Понятие о комбинаторной задачке. Правила суммы и произведения.

8. Порядок на Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат огромном количестве. Количество всех порядков огромного количества мощности . Перестановки из частей.

9. Подмножества из частей по . Сочетания. Количество всех подмножеств огромного количества, содержащего частей.

10. Упорядоченные подмножества из частей по . Размещения. Связь размещений и сочетаний. Количество размещений и количество сочетаний из по . Размещения с повторениями.

11. Характеристики сочетаний, их применение.

12. Случайные действия Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат. Достоверные и неосуществимые действия. Испытание, простый финал, полная система исходов. Относительная частота и возможность наблюдаемого действия.

13. Совместные и несовместные, зависимые и независящие действия. Правила суммы и произведения.

14. Случайные величины. Функция рассредотачивания случайных величин. Математическое ожидание.

15. Дисперсия. Закон огромных чисел.

16. Выражения; высказывательные формы; кванторы общности и существования. Область отправления и Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат огромное количество истинности выражения.

17. Логические операции над высказываниями (логические связки), порядок их выполнения в сложной формуле.

18. Отрицания логических связок.

19. Характеристики дизъюнкции и конъюнкции.

20. Характеристики импликации и эквивалентности.

Часть 2. История арифметики.

1. Этапы развития науки; роль арифметики в развитии наук и особенности ее развития.

2. Появление главных математических понятий (число, фигура,…).

3. Обозначения чисел и Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат системы счисления у различных народов.

4. Математика в старых Месопотамии и Египте. Математика в старых Китае и Индии.

5. Математика в Старой Греции и Старом Риме.

6. Математика в Средние Века (Средняя Азия).

7. Математика в старой Руси.

8. Математика средних веков в Западной Европе.

9. Математика Эры Возрождения.

10. Математика Западной Европы в Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат XVII веке.

11. Математика в Рф в XIV-XVII в. (воздействие татаро-монгольского ига и отношений с Западной Европой).

12. Развитие арифметики в XVIII веке в Западной Европе.

13. То же – в Рф.

14. Появление дифференциального и интегрального исчислений; их развитие.

15. Геометрия – XIX век.

16. 23 препядствия, поставленные Гильбертом, их решение.

17. Главные ветки арифметики, их Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат зарождение и роль в текущее время (алгебра, теория чисел, теория вероятностей, тригонометрия,…).

18. Кибернетика и информатика.

19. Основания арифметики и математическая логика.

20. Главные черты современной арифметики и пути ее развития.

Сентябрь 2001 года Н.А.Попова


*) Тут и дальше имя ученого значит, что требуется выложить сведения о его жизни и его вкладе в историю развития Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета - реферат арифметики.



metodicheskie-ukazaniya-k-oformleniyu-referata-po-discipline-obshaya-energetika-dlya-studentov-ochnoj-formi-obucheniya.html
metodicheskie-ukazaniya-k-prakticheskim-zanyatiyam-dlya-studentov-oop-specialnosti-060103-pediatriya.html
metodicheskie-ukazaniya-k-prakticheskim-zanyatiyam-i-samostoyatelnoj-rabote-dlya-studentov-specialnosti-reklama-omsk.html